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Una solución al desafío matemático de la lotería de Navidad: un número muy variable de segmentos Loteria de navidad

Ya hay solución al desafío matemático en la lotería de Navidad, propuesta por Adolfo Quirós Gracián un año más, Universidad Autónoma de Madrid y el director de La Gaceta de la Real Sociedad Española de Matemáticos.

Recuerda el desafío. La tarjeta de lotería, cuyas dimensiones son 11 cm y 6,5 cm, y una línea recta que comienza en la esquina inferior izquierda y llega a un punto del lado derecho y a 3,6 cm del borde. la parte inferior de la décima. A continuación, movemos el punto horizontalmente a la izquierda del décimo y dibujamos un nuevo segmento desde este punto desplazado paralelo al anterior. Este segmento se «separa» del décimo superior. Giramos el punto de salida verticalmente debajo y dibujamos un tercer segmento paralelo. El proceso se repite: si pasamos de la décima a la derecha, nos movemos horizontalmente hasta el borde izquierdo de la décima, y ​​si salimos desde arriba, nos movemos verticalmente hacia abajo. Después de cada movimiento, dibujamos un nuevo segmento en paralelo con los anteriores.

El desafío era, primero, decidir cuántos segmentos habríamos dibujado antes de llegar a la décima esquina superior derecha. Posteriormente hubo que responder a la misma pregunta, asumiendo ahora que el primer punto al que llegamos se encuentra en el lado derecho, pero a una altura de 3,9 cm desde la base del décimo.

Las respuestas son que en el primer caso tienes que dibujar 100 segmentos, pero en el segundo solo 7. Veamos por qué.

Cuando tenemos que «dejar» el décimo, en su lugar ponemos uno nuevo al lado del décimo y seguimos trazando la línea. Esto corresponde a un movimiento hacia el lado opuesto. Por tanto, podemos pensar que tenemos un tapiz de diez partes con m filas de xn columnas, por lo que el tamaño es mx6.5 cm de alto y nx11 cm de ancho, y lo que hemos hecho es unir las esquinas superiores izquierda y derecha del tapiz con una línea de pendiente 3.6 / 11 , como se muestra (con otros valores) en el siguiente dibujo

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Para que una línea llegue a la esquina superior derecha, debe ser mx6.5 / nx11 = 3.6 / 11, es decir, debe ser m / n = 3.6 / 6.5 cuando m, n son tan pocos enteros. Tenemos m / n = 36/65, y dado que 36 y 65 no tienen factores comunes, los menores myn son m = 36, n = 65.

La pregunta ahora es cuántas décimas hemos pasado antes de llegar al destino.

Damos un nuevo décimo cada vez que cruzamos una línea horizontal o una línea vertical que separa los diezmos. El primero tiene m-1 y el segundo n-1. Si sumamos la décima a la que dibujamos el primer segmento (antes de cruzar cualquier línea), resulta que el número total de décimas cruzadas y por lo tanto segmentos es (m-1) + (n-1) + 1 = m + n-1. Cabe señalar que nunca antes hemos cruzado un ángulo, porque cuando lo hace, significa que hemos llegado a la décima esquina superior derecha.

Como vimos que era m = 36, n = 65, el número de segmentos dibujados es 36 + 65 – 1 = 100.

Si se repite el mismo razonamiento en el primer punto, que ahora se alcanza a una altura de 3,9 cm, se obtiene m / n = 3,9 / 6,5 = 39/65. Pero ahora 39 = 3×13 y 65 = 5×13, de modo que m / n = 3/5 y el momento en que se alcanza la esquina superior derecha corresponden am = 3, n = 5, por lo que el número de segmentos trazables ha sido solo 3 + 5-1 = 7 .

Experimentando con más medidas, puede ver cuánto varía el número de segmentos: para el primer punto, que tiene 3,25 cm de altura, solo se necesitan 2 segmentos; Pero si el primer punto tiene 3,26 cm de altura, los segmentos necesarios serían 975.

Aproximadamente 300 soluciones se recibieron a tiempo, de las cuales aproximadamente el 60% eran correctas. Muchos de los errores se deben a pequeños errores. De hecho, el error más común es decir que se necesitan 65 segmentos en el primer caso y 5 segmentos en el segundo. Tenga en cuenta que estos son los valores que hemos llamado solución N. Leer los correos electrónicos de los lectores que dieron estos valores sugiere que han encontrado un procedimiento para resolver el problema, pero se han olvidado de contar los casos en los que el segmento deja el décimo en la parte superior.

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Las respuestas correctas generalmente provienen de la perspectiva de su estilo, aunque los detalles no siempre son los mismos (por ejemplo, se ha producido la menor llamada múltiple común). Pero también ha habido lectores que han usado otros métodos, como escribir programas de computadora para rastrear los altibajos de un segmento.

El número de lectores asociados con sus soluciones gráficas de alta calidad ha sido significativo. ¡La solución de Alejandro RG fue incluso un video! A modo de ejemplo, presentamos dos gráficos animados, la transmisión de uno Álvaro GH, mostrando cómo ocurren los 100 segmentos de la primera parte del desafío.

y José Luis PC, que está recogiendo una solución a la segunda pregunta en Navidad.

Algunos lectores han sugerido que hemos tratado el problema aritmético como geometría. Tienen alguna razón, pero no todas, porque la forma de resolver el desafío comienza implícitamente mirando la similitud de los triángulos (varios lectores han sido más claros y mencionados La oración de Thales). Si bien hay otras formas de presentar una solución, creemos que simplificará el debate.

Por otro lado, la idea de continuar hacia la izquierda a medida que el segmento sale por la derecha corresponde a pegar la décima parte de los dos lados convirtiéndolo en un cilindro. Si luego pegamos los extremos superior e inferior del cilindro resultante para que no vayamos desde arriba (no es nada fácil hacerlo con una décima parte del papel, pero usamos nuestra imaginación), obtenemos una imagen geométrica que en matemáticas llamamos al toro, más conocido como donut.

Por lo tanto, nuestro desafío podría haber sido rotar el hilo alrededor del toro / monje, y el hecho aritmético de que los números 3.6 / 6.5 y 3.9 / 6.5 tienen sentido hace que los números que los caminos geométricos trazados por el cable regresen al punto de partida (si hubiéramos colocado la primera intersección en π o 2 raíces cuadradas , nunca hubiéramos llegado a la esquina superior derecha). El hecho de que conseguir caminos cerrados en el toro esté relacionado con la racionalidad del capítulo es uno de esos fascinantes misterios de las matemáticas.

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Con el permiso de RSME, tres autores de soluciones completamente correctas reciben copias separadas del libro. ¡Resuélvelo! Un desafío lúdico para aquellos interesados ​​en matemáticas., escrito por James S. Tanton, parte de la Biblioteca de Estímulos Matemáticos, que la compañía publica en conjunto con Editorial SM. Son Ana y José Luis T. (que tienen que mandar una solución conjunta, tienen que compartir el libro), Ángela VB y Guillermo C.

Creo que el desafío ha sido el entretenimiento agradable en estos tiempos difíciles. Para mí, la respuesta entusiasta y el aliento que los lectores enviaron en sus publicaciones han compensado los esfuerzos por mantener esta tradición en un año en el que, lamentablemente, otros tendrán que abstenerse. ¡Muchas gracias! De parte de EL PAÍS, RSME y mía les deseo una Feliz Navidad, aunque sean únicos, mucha suerte con la lotería de mañana y, sobre todo, buena salud.

Antonio Calzadilla

Experto en redes sociales. Amante de la televisión galardonado. Futuro ídolo adolescente. Evangelista de la música. Gurú del café

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